什么是组合计算器？
组合计算器用于计算在不考虑选取顺序的情况下，从一个较大的集合中选出一组元素有多少种不同的方式。这个数量称为组合数，记作 nCr{}^{n}C_{r}nCr、“n 选 r”，或用二项式系数 (nr)\binom{n}{r}(rn) 表示。这里 nnn 是可用元素的总数，rrr 是你选取的元素个数。
每当你只关心哪些元素最终被放在一起，而不关心选取它们的顺序时，就会出现组合。从 5 种配料中选 2 种，无论你先说出哪种配料，得到的都是同一种披萨，所以这是一个组合问题。如果顺序很重要，那么你计算的就是排列。
它是如何工作的？
输入元素总数 nnn 和你想选取的个数 rrr，计算器会立即返回 nCr{}^{n}C_{r}nCr。两个值都必须是整数，且 rrr 不能大于 nnn — 你无法选取比你拥有的更多的元素。如果 r>nr > nr>n，或者任一字段留空，结果将保持为空。
公式
组合数由二项式系数给出：
nCr=(nr)=n!r! (n−r)!{}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}nCr=(rn)=r!(n−r)!n!
这里 n!n!n!（n 的阶乘）是直到 nnn 的所有正整数的乘积，因此 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 1205!=5×4×3×2×1=120。按照惯例 0!=10! = 10!=1，这就是为什么选取零个元素或选取全部元素总是恰好得到一种组合。
一些有用的恒等式可直接由公式得出：
(n0)=1\binom{n}{0} = 1(0n)=1 — 不选任何元素只有一种方式。
(nn)=1\binom{n}{n} = 1(nn)=1 — 选取全部元素只有一种方式。
(nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}(rn)=(n−rn) — 选取 rrr 个保留与选取 n−rn-rn−r 个舍弃是相同的。
计算示例
示例 1：从 5 个中选 2 个。(52)=5!2! 3!=1202×6=10\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10(25)=2!3!5!=2×6120=10。
示例 2：从 10 个中选 3 个。(103)=10!3! 7!=36288006×5040=120\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120(310)=3!7!10!=6×50403628800=120。
示例 3：从 5 个中选全部 5 个。(55)=5!5! 0!=1\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1(55)=5!0!5!=1。
示例 4：从 5 个中选 0 个。(50)=5!0! 5!=1\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1(05)=0!5!5!=1。
实用说明
组合计算的是无序选择。如果排列方式很重要 — 例如让人们排成一行就座 — 请使用排列，其中 nPr=n!(n−r)!{}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}nPr=(n−r)!n!。
由于阶乘的存在，数值增长得很快，因此即使是不大的输入也可能产生非常大的结果。
组合是概率、二项分布、彩票概率、纸牌牌型计数以及组合设计问题的基础。
常见问题
组合和排列有什么区别？
在组合中，所选元素的顺序无关紧要，所以 {A,B}\{A, B\}{A,B} 和 {B,A}\{B, A\}{B,A} 算作一次选择。在排列中，顺序很重要，所以它们算作两次。因此，对于相同的 nnn 和 rrr，排列的数量总是至少与组合一样多。
为什么选取 0 个元素等于 1？
因为 0!=10! = 10!=1，公式给出 (n0)=n!0! n!=1\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1(0n)=0!n!n!=1。直观地说，什么都不选恰好只有一种方式 — 空选择。
r 可以大于 n 吗？
不可以。你无法选取比集合中存在的更多的元素，所以 (nr)\binom{n}{r}(rn) 仅在 0≤r≤n0 \le r \le n0≤r≤n 时有定义。当 r>nr > nr>n 时，此计算器返回空白结果。